Главная » Файлы » НУЖНОЕ УЧИТЕЛЮ, РЕБЁНКУ И РОДИТЕЛЮ ! » СТАТЬИ ПО МАТЕМАТИКЕ |
2015 Окт 28, 10:42 | |
Фредерик Содди (1877—1956) — английский химик, изучавший проблемы радиоактивности совместно с Резерфордом, выдвинувший теорию изотопов, удостоенный Нобелевской премии по химии 1921 г. за вклад в теорию строения атома. Кроме химии, Ф. Содди интересовался экономическими, социальными и политическими теориями, написал несколько книг на эти темы, а также занимался некоторыми математическими задачами. Следующая довольно красивая теорема, долгое время считавшаяся гипотезой, принадлежит именно ему, хотя доказал ее Коксетер. Теорема Содди. Пусть три окружности с радиусами касаются внешним образом. Пусть — радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внешним образом, а — радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внутренним образом. Тогда имеют место равенства
Доказательство. Пусть — центры трех данных окружностей, и — центр окружности, касающейся каждой из них внешним образом. Обозначим и . При внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, следовательно, из треугольника по теореме косинусов находим
Откуда
Далее находим
Так как , то имеет место тождество
Подставляем сюда найденные значения тригонометрических функций, получаем:
или
откуда
Для вычисления радиуса большей окружности, касающейся каждой из трех данных окружностей внутренним образом, получим аналогичное уравнение, в котором заменяется на . Полученные равенства являются квадратными уравнениями относительно и . Поэтому имеем
Сам Содди признавался, что ему так и не удалось понять, каким образом он получил данную красивую симметричную формулу. Смысл открытой им теоремы Содди выразил в стихах. Так возникла поэма “Точный поцелуй”: Определим изгиб кривой Прямая линия изгиб Четыре круга как-то раз Сумма квадратов всех изгибов Здесь вместо термина “кривизна” употребляется слово “изгиб” | |
Просмотров: 704 | Загрузок: 0 | |
Всего комментариев: 0 | |