manucoz.ru

    Хорошо известно, что среднее геометрическое двух неотрицательных чисел всегда не больше их среднего арифметического:

.

Алгебраическое доказательство этого факта и его обобщение на  чисел приведены здесь.

Однако данное неравенство можно доказывать разными способами. Приведем здесь его геометрическое доказательство. В дальнейшем  обозначает среднее арифметическое чисел  и , а  — их среднее геометрическое.

Это очевидно, не так ли? Если нет, то давайте сделаем все аккуратно. Да, будем считать  и  положительными.

Нарисуем полуокружность, диаметр которой есть сумма двух наших чисел . Отметим точку на окружности (на рисунке она красная), в которой перпендикуляр, построенный к диаметру окружности в точке, разделяющей диаметр на отрезки длиной (черный) и  (синий). Построим треугольник с вершинами в этой точке и в концах диаметра окружности:

Поскольку треугольник вписан в окружность и одна его сторона — диаметр этой окружности, то этот треугольник прямоугольный (вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой). Нарисуем теперь радиус окружности, перпенидкулярный уже имеющемуся диаметру (на рисунке он зеленый), и отрезок, перпендикулярный диаметру, с концом в красной точке (красный):

Длина зеленого отрезка равна радиусу окружности, т.е. половине ее диаметра, следовательно, она равна . Таким образом, она совпадает с .

Найдем длину красного отрезка. Обозначим эту длину через , а катеты прямоугольного треугольника через  и . Рассмотрим еще два прямоугольных треугольника со сторонами  и :

Для каждого из трех имеющихся треугольников запишем теорему Пифагора:

Подставляя выражения для  и  из двух последних равенств в первое и раскрывая скобки, получаем:

Упрощая полученное равенство, получаем

или

.

Таким образом, мы видим, что длина красного отрезка  есть среднее геометрическое чисел  и .

И поскольку очевидно, что длина красного отрезка не больше длины зеленого отрезка, то имеем наше неравенство

.