Все узнают о треугольнике Паскаля в юности. Но, видимо, узнают не все чудеса, которые содержит треугольник. В самом деле, мы до сих пор открываем новые вещи!
Строится треугольник довольно легко: по внешним краям нужно поставить единицы, а каждое число внутри равно сумме двух чисел, которые стоят над ним. Так, третье число в шестой строке равно 
, потому что это сумма чисел 
и 
.
Внимание! На самом деле мы будем говорить, что является вторым числом в пятой строке. По причинам, которые скоро станут ясны, мы начинаем нумеровать строки и столбцы треугольника с нуля. Например, второе число в четвертой строке равно .
Зная правило сложения, можно продолжать бесконечно: вы можете написать столько строк, сколько позволит ваше терпение.
Первые 10 строк треугольника Паскаля
Паскаль ввел свой треугольник в 1653 г. в Traité du triangle arithmétique как часть задачи исследования вероятностей и для вычислений. Задачи были примерно такие: “Если я хочу выбрать двух человек из четырех данных, сколько существует возможных пар?’’ или “Какова вероятность выпадения фулл-хауса (примеч. в покере три карты одного достоинства и две другого), когда раздается по пять карт из колоды, которая хорошо перемешана?’’ Паскаль и Ферма в основном обсуждали вероятность в письмах, которыми они обменивались в то время. Вы можете увидеть исходный треугольник Паскаля здесь.
Каким образом треугольник связан с вероятностью? Ну, если вы хотите выбрать 
объектов из 
данных, то количество возможных вариантов выбора равно -му числу в -й строке треугольника. Помните, что номера строк и чисел в строках треугольника начинаются с нуля! Используя это правило, мы видим, что существует ровно способов выбрать двух человек из четырех данных. И так 
— третье число в девятой строке треугольника, то существует способа выбрать трех человек из девяти данных. Научившись вычислять это, вы сделаете маленький шаг к вычислению всевозможных вероятностей.
На первый взгляд, кажется довольно непонятным, почему треугольник дает правильный ответ на этот вопрос. Может также показаться странным, что мы должны всегда начинать с нуля, чтобы заставить его работать. Чтобы увидеть, что все это совершенно верно, мы сделаем два замечания.
Во-первых, если у вас есть группа объектов, каким количеством способов вы можете выбрать нуль объектов из них? Есть ровно один способ выбрать нуль объектов, а именно: просто заявив, что вы не берете ни одного из них. Кроме того, у вас есть только один способ выбрать все объекты. И это как раз соответствует единицам на двух концах каждой строки.
Блез Паскаль
Во-вторых, если мы хотим выбрать предметов из данных , мы замечаем, что есть два взаимоисключающих сценария: либо наш любимый предмет является одним из выбранных, либо это не так. Если мы выбираем его, то мы должны также выбрать 
предмет из оставшихся 
предметов, чтобы выбрать ровно предметов. Если мы не выбираем данный предмет, то мы должны выбрать все предметов из данных предмета, оставшихся после исключения нашего любимого предмета. Так как это взаимоисключающие возможности, чтобы получить общее количество вариантов выбора, мы должны сложить количества вариантов в каждом сценарии.
Короче говоря, чтобы получить число способов выбора объектов из данных , мы должны сложить количество способов выбрать объект из , и число способов выбрать объектов из . Но это именно и есть правило сложения для треугольника Паскаля!
Мы уже знаем, что треугольник полностью определяется расположением единиц по его сторонам и правилом сложения. Так как эти свойства применимы также к ответу на вопрос о количестве вариантов выбора объектов, треугольник должен и здесь давать правильный ответ.
Возможность сделать такие расчеты неоценима во множестве случаев. Поэтому мало удивляет, что Паскаль не был первым. Данные числа были рассмотрены индийскими, китайскими и иранскими математиками в разное время, начиная с момента более чем тысячелетней давности. И, конечно, все узнают треугольник Яна Хуэя, 1303 г.:
Забавно, даже не будучи в состоянии различить числа, вы можете найти опечатку в этом треугольнике, которому больше 700 лет! Подсказка: правило сложения делает треугольник Паскаля симметричным относительно вертикальной прямой, проходящей через его вершину. Если вы посмотрите внимательно, в треугольнике Ян Хуэя эта симметрия в одном месте нарушается.
В треугольнике много чудесного. Где же чудеса? Некоторые из них легко заметить. Если вы сложите числа в -й строке треугольника, вы всегда получите 
в степени (например, 
). Для нас это довольно скучно.
Несколько более интересным является тот факт, что если вы сложите числа, стоящие в треугольнике по диагоналям, получится последовательность чисел Фибоначчи. А последовательность чисел Фибоначчи сама содержит множество сюрпризов.
Недавно нечто удивительное и новое было обнаружено в треугольнике Паскаля. Как мы видели, если сложить числа, стоящие в строке треугольника, происходит что-то интересное. Этот факт о суммах так же стар, как и сам треугольник. Однако до 2012 г., до Харлана Бразерса, никто не пытался выяснить, что произойдет, если перемножить числа в каждой строке.
Давайте обозначим через 
произведение чисел в -й строке треугольника. Так, 
, и так далее. Числа, которые получаются, кажется, не имеют каких-либо явных чудесных свойств. У Бразерса возникла идея посмотреть, что произойдет, если вы разделить эти произведения, вычисленные для рядом стоящих строк. Точнее, для 
он нашел числа 
, получающиеся по следующей формуле:
.
Т. е. для каждой строки он рассмотрел дробь, числитель которой равен произведению всех чисел в строке, стоящей под ней, и в строке, стоящей над ней, а знаменатель — произведению всех чисел в данной строке в квадрате.
И вот удивительная вещь: когда становится все больше, это отношение становится все ближе к числу 
! Помните, — это десятичное число с бесконечным числом цифр, приближенно равное 
. Оно появляется при капитализации процентов, модели роста численности населения и других ситуациях с экспоненциальным ростом. Удивительно, что это число может быть таким довольно простым способом найдено в треугольнике Паскаля. Так как вы знаете, что нужно искать , несложно понять, что рассмотренное отношение действительно становится все ближе к с ростом .
Вот такая симпатичная анимация Ричарда Грина наглядно показывает результат Харлана Бразерса:
Существует еще одно чудо в треугольнике, которое каждый должен знать. Давайте каждое число в треугольнике покрасим в один из двух цветов, в зависимости от того, является оно четным или нечетным. Например, мы могли бы покрасить четные числа белым, а нечетные — синим. Если мы сделаем это для первых 500 строк треугольника, получим вот такую закономерность:
Это известный фрактал, известный как треугольник Серпинского! Это приводит к разного рода вопросам. Число четное или нечетное, если оно при делении на дает остаток 
или 
соответственно. Что происходит, когда разделим на 
? Остатки могут быть равны 
или 
. Что произойдет, если использовать восемь цветов и покрасить каждое число в соответствии с его остатком при делении на восемь? Для первых 500 строк треугольника получим прекрасную картину:
Полезный совет: когда вы используете приложение, нажмите на маленький символ “плюс’’, чтобы использовать более детальную версию управления. В треугольнике Паскаля есть множество других удивительных вещей.
