ТЕОРЕМА СОДДИ - СТАТЬИ ПО МАТЕМАТИКЕ - НУЖНОЕ УЧИТЕЛЮ, РЕБЁНКУ И РОДИТЕЛЮ ! - Архив творческих работ

Главная » Файлы » НУЖНОЕ УЧИТЕЛЮ, РЕБЁНКУ И РОДИТЕЛЮ ! » СТАТЬИ ПО МАТЕМАТИКЕ

ТЕОРЕМА СОДДИ

	2015 Окт 28, 10:42
Фредерик Содди (1877—1956) — английский химик, изучавший проблемы радиоактивности совместно с Резерфордом, выдвинувший теорию изотопов, удостоенный Нобелевской премии по химии 1921 г. за вклад в теорию строения атома. Кроме химии, Ф. Содди интересовался экономическими, социальными и политическими теориями, написал несколько книг на эти темы, а также занимался некоторыми математическими задачами. Следующая довольно красивая теорема, долгое время считавшаяся гипотезой, принадлежит именно ему, хотя доказал ее Коксетер. Теорема Содди. Пусть три окружности с радиусами касаются внешним образом. Пусть — радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внешним образом, а — радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внутренним образом. Тогда имеют место равенства $\displaystyle2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{r^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{r}\right)^2,$ $\displaystyle 2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{R^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{R}\right)^2.$ Доказательство. Пусть — центры трех данных окружностей, и — центр окружности, касающейся каждой из них внешним образом. Обозначим $\angle BOC=2\alpha,\angle COA=2\beta$ и $\angle AOB=2\gamma$ . При внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, следовательно, из треугольника по теореме косинусов находим $(a+b)^2=(a+r)^2+(b+r)^2-2(a+r)(b+r)\cos2\gamma,$ Откуда $\displaystyle\cos 2\gamma=\frac{r^2+(a+b)r-ab}{(a+r)(b+r)}.$ Далее находим $\displaystyle \sin^2\gamma=\frac{ab}{(a+r)(b+r)},\cos^2\gamma=\frac{r(a+b+r)}{(a+r)(b+r)}.$ Так как $\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$ , то имеет место тождество $\sin^2\gamma=\sin^2\alpha+\sin^2\beta-2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma.$ Подставляем сюда найденные значения тригонометрических функций, получаем: $\displaystyle \frac{ab}{(a+r)(b+r)}=\frac{bc}{(b+r)(c+r)}+\frac{ac}{(a+r)(c+r)}-\frac{2c\sqrt{abr(a+b+r)}}{(a+r)(b+r)(c+r)},$ или $\displaystyle \frac{1}{c}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{r}+2\sqrt{\frac{1}{ar}+\frac{1}{br}+\frac{1}{ab}}=0,$ откуда $\displaystyle 2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{r^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{r}\right)^2.$ Для вычисления радиуса большей окружности, касающейся каждой из трех данных окружностей внутренним образом, получим аналогичное уравнение, в котором заменяется на . Полученные равенства являются квадратными уравнениями относительно и . Поэтому имеем $\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}},$ $\displaystyle -\frac{1}{R}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-2\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}}.$ Сам Содди признавался, что ему так и не удалось понять, каким образом он получил данную красивую симметричную формулу. Смысл открытой им теоремы Содди выразил в стихах. Так возникла поэма “Точный поцелуй”: Определим изгиб кривой Как радиус обратный. Он просто связан с кривизной, И это всем понятно. Прямая линия изгиб Имеет нулевой, И отрицательный изгиб — У вогнутой кривой. Четыре круга как-то раз Поцеловались в поздний час. Евклид об этом не узнал: Он о любви не думал, А я круги нарисовал И формулу придумал: Сумма квадратов всех изгибов Равна половине квадрата их суммы. Здесь вместо термина “кривизна” употребляется слово “изгиб”
1 2 3 4 5 Категория: СТАТЬИ ПО МАТЕМАТИКЕ \| Добавил: evgeniykapliy \| Теги: теорема, доказать, Содди, математика
Просмотров: 859 \| Загрузок: 0 \| Рейтинг: 0.0/0